角度の求め方（第1回） 三角形の内角と外角の関係

三角定規を組み合わせた問題はとてもよく出題されています。
わかる範囲で角度を図に記入してみましょう（右図の赤文字）。
三角定規では、
「0°・60°・90°」（右図水色）と
「45°・45°・90°」（右図黄色）の
三角形になることが大前提です。

それではまず、角Aからみていきます。
すると角Aは三角形イ、ウ、エの外角になっています。（旗が逆さになっています）
三角形の内角と外角の関係から
●＝○＋●
角Ａ＝30°＋90°＝120°
と計算できます。

次に角Bはどうでしょうか。
右の図のように角Bは三角形ア、ウ、オの内角の一つになっています。
三角形の内角の和は180°なので、
角B＝180°－（30°＋45°）
＝180°－75°
＝105°
と計算できます。

この角Aように、あらかじめわかる角度を図に記入して、三角形の内角と外角の関係（三角の旗）を利用すると簡単に正解が得られる問題はたくさんあります。

答え
角A=120°、角B＝105°

このタイプは三角定規の組み合わせほどではありませんが、よく見かける問題です。有名な形なので「ブーメラン型」と名前が付けられています。この問題も三角形の外角と内角の関係を使うと解くことができます。
まずは、χを求めるために適した三角の旗をみつけてみましょう。いくつかありますが。例えば下の図のように倒れた旗がみつかります。

内角と外角の関係から
●＋○＝●
となるので
χ°＋38°＝●
･･･　●がわかればχ°もわかりそうです。

そこで、次の図のように、三角形アイウに注目して考えてみます。
130°の隣の角度は
180°－130°＝50°です。

そして、三角形ア、イ、ウの内角の和が180°であることを利用すると、
●＝180°－（18°＋50°）
＝180°－68°
＝112°
となります。

最初の式（内角と外角の関係の式）に戻ると、
χ°＋38°＝●
だったので、
χ°＋38°＝112°
χ°＝74°
と計算できます。
この他にも右のように、逆さまの旗を見つけて解くこともできます。

この性質を使って、問題２を考えてみると次のようになります。
χ°と38°と18°の3つをたすと130°に等しくなるので、χ°は74°になります。
（式にすると、χ°＋38°＋18°＝130°）

実は問題１の角Ａもこのブーメランの性質を使うと次のように簡単に計算できます。

答え
74°

この問題は角度がわかっている部分が3箇所もあるので、それらをもとに図形に角度を書き込んでいけば、解けそうな問題ですが、ここではまずは、χとｙに関係しそうな三角形に着目して、次の図のように外角と内角の関係を利用して解いてみます。

まず右の図のように、外角と内角の関係より

まとめると、次の図のようになります。

三角形の内角の和は180°だから、次の式がなりたちます。
χ＋ｙ＋44°＋86°＝180°
χ＋ｙ＋130°＝180°
χ＋ｙ＝50°
χ：ｙ＝3：2　だからχ＝30°、ｙ＝20°

問題３でもブーメランを使うと簡単です。

よくみると、旗もあります。三角形の内角と外角の関係より、●＋○＝●　つまり　
χ＋ｙ＝50°
χ：ｙ＝3：2　だから
χ＝30°、ｙ＝20°
と簡単に求めることもできます。

答え
χ＝30°、ｙ＝20°