2003.12.09
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時計算(基礎編)

時計算(基礎編)

今回は時計算です。時計算では、時計の長針と短針でつくられる角度が問題になります。いつも見慣れている時計についての問題ですが、混乱しやすいので、基礎からゆっくり説明します。今回は基礎の部分です。ちなみに、時計算で登場するのはアナログ時計です(デジタル時計ではありませんよ。念のため・・・。)


(1) 時計の長針が1時間に進む角度は何度ですか。
(2) 時計の長針が1分間に進む角度は何度ですか。
(3) 時計の短針が1時間に進む角度は何度ですか。
(4) 時計の短針が1分間に進む角度は何度ですか。

解法を見る


次の(1)~(5)について小さい方の角度を求めなさい。
(1) 3時ちょうどのとき、長針と短針は何度離れていますか。
(2) 3時1分のとき、長針と短針は何度離れていますか。
(3) 3時2分のとき、長針と短針は何度離れていますか。
(4) 3時3分のとき、長針と短針は何度離れていますか。
(5) 長針は短針に1分間につき、何度ずつ近づいていることになりますか。

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10時28分のとき、時計の長針と短針の作る角度のうち、小さいほうの角度を求めなさい。

解法を見る



■ 解法
(1) 時計の長針は1時間で1周するから、360度進むことになります。
(2) 時計の長針は1時間(=60分)で1周(360度)動くから、1分間では、
360÷60=6
となり、毎分6度だけ進んでいることになります。
(3) 時計の短針は1時間あたり、1周(360度)を12等分した角度(5分刻みの大きな目盛1つ分)を進むことになるから、
360÷12=30
となり、毎時30度だけ進んでいることになります。
(4) 時計の短針は1時間(=60分)で30度(5分刻みの大きな目盛1つ分)動くから、1分間では、
30÷60=0.5
となり、毎分0.5度だけ進んでいることになります。

長針は1時間で360度1分間では
6度進む(小さな目盛1つぶん)
【例】 3時0分(点線)から 3時1分(実線)に 動くとき
短針は1時間で30度(大きな目盛1つぶん)
1分間では0.5度進む


■ 答え:(1)360度  (2)6度  (3)30度  (4)0.5度


■ 解法

(1)

3時ちょうどのときは、長針と短針は90度だけ離れています(小さい方の角度)。
5分刻みの大きな目盛(30度)が3つ分ですね。

ちなみに、大きいほうの角度は270度です。

■ 答え:90度

(2)

3時ちょうどの針の位置を長針と短針のそれぞれの基準線(左図の点線)とします。 3時1分のときは、長針は基準線から6度進み、短針は0.5度だけ進みます。 そのため、3時1分には、長針は基準線の角度(90度)を6度小さくするほう(内側)に動き、短針は基準線の角度を0.5度大きくするほう(外側)に動いたことになります。
よって、3時1分のときの角度は、 90度-6度+0.5度=84.5度 この84.5度が3時1分の角度です。

■ 答え:84.5度

(3)

3時2分のときは、長針は基準線から12度進み、短針は1度だけ進みます。
そのため、3時2分には、長針は基準線の角度(90度)を12度小さくするほう(内側)に動き、短針は基準線の角度を1度大きくするほう(外側)に動いたことになります。
よって、3時2分のときの角度は、
90度-12度+1度=79度
この79度が3時2分の角度です。

■ 答え:79度

(4)

3時3分のときは、長針は基準線から18度進み、短針は1.5度だけ進みます。
そのため、3時2分には、長針は基準線の角度(90度)を18度小さくするほう(内側)に動き、短針は基準線の角度を1.5度大きくするほう(外側)に動いたことになります。
よって、3時3分のときの角度は、
90度-18度+1.5度=73.5度
この73.5度が3時2分の角度です。

■ 答え:73.5度

このように、時計算では、長針と短針の基準を決めて考えます。どこを基準にするかは自由です。考えやすいところを基準にします(普通は大きな目盛1から12のどれか)。
そして、基準線のつくる角度に対して、長針と短針がどちらの向きにどれだけ動いたかを考えて、たしざんとひきざんで計算します。
また、次のように、基準線を一つ(たとえば12の目盛)にする考え方もあります。



3時3分の角度は 91.5度-18度=73.5度

見方を変えると、次のように理解できます。
長針さんがスタート地点から18mのところにいて、短針さんが91.5mのところにいるとすると、
2人の差は91.5m-18m=73.5mになります。角度でも同じことです。





(5)長針は毎分6度、短針は毎分0.5度進むから、5.5度が正解です(これは旅人算と同じ考え方です。動く物が針で、道のりは角度にあたります)。
ためしに、(1)~(4)の答えをまとめてみます。 
 

離れている角度は1分ごとに5.5度ずつ小さくなっていることがわかります。つまり、長針は短針に1分間につき、5.5度ずつ近づいているのです。
これは、3時に限らず、いつの時間でも同じです。長針が短針に追いついて遠ざかるときも同じで、1分間につき5.5度ずつ、遠ざかります。

■ 答え:5.5度
 

時計算のポイント
1)長針は1分間に6度進む
2)短針は1分間に0.5度進む
3)長針は短針に1分間に5.5度近づく(遠ざかるときも同じ)

※3は旅人算と同じ考え方です



■ 解法

長針の基準線を大きな目盛の6、短針の基準線を大きな目盛の10とします。



基準線の角度は、大きな目盛4つぶんだから、
30度×4=120度
長針は基準線の角度(120度)を12度ぶん大きくするほう(外側)にあり、短針も基準線の角度(120度)を14度ぶん大きくするほう(外側)にあるから、10時28分のときの角度は、
120度+12度+14度=146度
この146度が10時28分の角度です。

■ 答え:146度
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