2003.04.08
約数・公約数・最大公約数(第2回) わり算のあまりの問題
今回は約数・公約数・最大公約数の問題の中で、わり算のあまりに関するものです。なぜ、公約数の知識を利用できるのかを考えながら解き、理解することが大切です。
47をわると5あまる整数をすべて求めなさい。 解法を見る 56と80のどちらをわっても8あまる整数をすべて求めなさい。 解法を見る 100をわると4余り、72をわると8あまる整数をすべて求めなさい。。 解法を見る 26をわると2あまり、55をわると7あまり、35をわると3あまる整数を求めなさい。 解法を見る 47をわると5あまる整数をすべて求めなさい。 ■ 解法 「47をわると5あまる」ということは、5だけ多かったということですから、47から5をひいた42をわればわり切れるということです。 42をわり切る整数は、42の約数です。前回説明した方法で約数を求めてみます。 〔42の約数〕 42の約数は、1、2、3、6、7、14、21、42の合計8つになります。 これら8つの数はすべて42をわり切ることができます。 これら8つの数で47を実際にわってみると、次のようになります。 この結果をみると、たとえ42の約数でも1、2、3でわってもあまりが5になりません。6以上でわれば、あまりが5になります。あまりが5なるためには、わる数はあまりの5より大きい数でなければならないのです。わからない人は次の例の図で考えてみましょう。 例1) 47÷7の場合(6あまり5) 例2) 47÷3の場合(15あまり2)
ここまでを、ふりかえってみると、「47をわると5あまる整数」を求めるためには、「42の約数」を求め、その中で、わる数の5よりも大きい整数が正解になります。 42の約数1、2、3、6、7、14、21、42のうち、5よりも大きい数は6、7、14、21、42 で、これが正解です。 ■ 答え:6、7、14、21、42 56と80のどちらをわっても8あまる整数をすべて求めなさい。 ■ 解法 この問題1を解くためには、48と72の公約数のうち、8より大きい数を求めれば正解です。その理由を説明します。 まず、56をわると8あまる数を考えてみましょう。 56をわると8あまるということは、8だけ多かったということですから、56から8をひいた48であれば割り切れるはずです。すると、48をわりきる数は48の約数なので、 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48の10個です。 〔48の約数〕 ただし、準備体操で説明したように、わる数はあまりの8より大きい数でなければなりません。 よって、56をわると8あまる数は 12、16、24、48 です。 次に、80をわると8あまる数を考えてみましょう。 80をわると8あまるということは、8だけ多かったということですから、80から8をひいた72であれば割り切れるということです。すると、72をわりきる数は72の約数なので、 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72の12個です。 〔72の約数〕 これも、わる数はあまりの8より大きい数でなければなりません。 よって、80をわると8あまる数は 9、12、18、24、36、72 です。 ここまでをまとめてみます。 56をわると8あまる数・・・12、16、24、48(48の約数のうち8より大きい数) 80をわると8あまる数・・・9、12、18、24、36、72(72の約数のうち8より大きい数) 問題で求めていることは、56と80のどちらをわっても8余る整数なので、両者を比べて共通なものを見つければよいわけです。例えば、9は80をわると8あまりますが、56をわってもあまりは8ではありません。ところが、12は56をわっても80をわっても8あまりますから、12は正解のひとつです。同じように考えていくと16、18はダメで、24も正解です。残りの36、48、72はだめです。 ■ 答え:12と24
100をわると4余り、72をわると8あまる整数をすべて求めなさい。 ■ 解法 同じように考えてみましょう。100をわる場合と72をわる場合で分けて考えます。 100をわる場合 100をわると4あまるということは、100から4をひいた96であれば割り切れるということです。ただし、準備体操で説明したように、わる数はあまりの4より大きい数でなければなりません。96をわりきることのできる数は96の約数なので、 〔96の約数〕 72をわる場合 同じように、72をわると8余るということは、8だけ多かったということですから、72から8をひいた64であれば割り切れるということです。ただし、準備体操で説明したように、わる数はあまりの8より大きい数でなければなりません。 〔64の約数〕 ここまでをまとめてみると 100をわると4あまる数・・・6、8、12、16、24、32、48、96 (96の約数のうち4より大きい数) 72をわると8あまる数・・・16、32、64 (64の約数のうち8より大きい数) 100をわると4余り,72をわると8あまる整数を求めるためには,96と64の公約数をのうち,8より大きいもの(細かく言うと4よりも8よりも大きい数)を求めればよいので,16と32が正解です。 ■ 答え:16と32
26をわると2あまり、55をわると7あまり、35をわると3あまる整数を求めなさい。 ■ 解法 これも、いままでと同様に考えると、24と48と32の公約数のうち7より大きい数を求めればよいことになります。 〔24の約数〕 〔48の約数〕 〔32の約数〕 26をわると2あまる数・・・3、4、6、8、12、24(24の約数のうち2より大きい数) 55をわると7あまる数・・・8、12、16、24、48(48の約数のうち7より大きい数) 35をわると3あまる数・・・4、8、16、32(32の約数のうち3より大きい数) これらに共通な数は8でこれが正解。 ■ 答え:8
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