2003.01.21
数列(等差数列)
数を並べて数の列をつくったものが数列です。数列の中でも特に同じ数を次々にたしてできる数の列(または、ひいてできる数の列)を等差数列といいます。 数列の問題は頭の中で考えず、数を書き並べて解く姿勢が大切です。数列の問題を解く手段として、公式がいくつかあります。公式を使うと効率的に解くことができますが、公式が成り立つ背景を知らないまま使うと、応用問題では、活用することができなくなります。まずは、数を書き並べて数列の原理を知った上で公式を使いましょう。
1から100までの数(整数)全部たすといくつになりますか。 解法を見る ある規則にしたがって数を次のように並べました。 2,5,8,11,14 ・・・・・・・ (1)12番目の数はいくつですか。 (2)62は何番目の数ですか。 (3)はじめから10番目までの数をすべてたすといくつになりますか。 解法を見る 0,0,4,4,8,8,12,12,・・・・・・・のように数を順に2つずつ並べた数列があります。 (1)20番目の数はいくつですか。 (2)最初の数から100番目までの数をすべてたすといくつになりますか。 解法を見る 1から100までの数(整数)全部たすといくつになりますか。 ■ 解法 「1から100までの数(整数)全部たすといくつになりますか?」これは、数学者のガウスが少年のころ先生から出されて、あっという間に解いてしまい、みんなを驚かせたそうです。この問題をガウス少年は次のように解きました。 1から100を順に書き、その下に100から1までを逆に並べて上下をたします。
すると、すべて101にきれいにそろいました。101が100個できたので、101を100回たすと 101×100=10100になります。ところが、これは、はじめから100までの数をすべてたしたものの2倍になっているので、半分にして10100÷2=5050が正解です。
■ 答え:5050 ある規則にしたがって数を次のように並べました。 2,5,8,11,14 ・・・・・・・ (1)12番目の数はいくつですか。 (2)62は何番目の数ですか。 (3)はじめから10番目までの数をすべてたすといくつになりますか。 ■ 解法 (1)この数列の規則は3ずつ増えているということです。 1番目は最初の数で 2 2番目は2に3を1回たして、2+3 3番目は2に3を2回たして、2+3+3 4番目は2に3を3回たして、2+3+3+3 5番目は2に3を4回たして、2+3+3+3+3 ここで、もう一つの大切な規則があります。それは、2番目の数は最初の数2に3を1回たした数、3番目の数は3を2回たした数、4番目の数は3を3回たした数、・・・となっています。 つまり、□番目の数は□より1少ない回数分3をたすことになります。このように考えると、12番目の数は1番目の2に3を11回たした数になります。発展させて100番目の数は2に3を99回たした数になります。
■ 答え:35 ■ 解法 (2)62は最初の数の2に60をたした数です。 60は3を20回たしたものなので、62は21番目の数です。
■ 答え:21番目
■ 解法 (3)これも問題1のガウスの方法で計算できます。まず、10番目まで書き出してみます。
これを全部そのままたすのでは、ちょっと大変そうです。そこで、つぎのように、上に書いた数の下に逆の順番で書き並べて上下をたしてみましょう。
すると、すべて31にきれいにそろいました。31が10個できたので、31を10回たすと 31×10=310になります。ところが、これは、はじめから10番目までの数をすべてたしたものの2倍になっているので、半分にして310÷2=155が正解です。
■ 答え:155 0,0,4,4,8,8,12,12,・・・・・・・のように数を順に2つずつ並べた数列があります。 (1)20番目の数はいくつですか。 (2)最初の数から100番目までの数をすべてたすといくつになりますか。 ■ 解法 (1)この数列の規則は、2つずつ組になって4ずつ増えています。このように組になっている数列は組にして考えます。
のように組がつくられているので、20番目の数は10組目に含まれることがわかります。10組目の数は1組目の0に4を9回たした数なので、 (10組目の数)=(19番目と20番目の数)=0+4×9=36 となります。 ■ 答え:36 ■ 解法 (2)まず、100番目の数は、50組目に含まれることがわかります。これまでと同様に数を並べて考えましょう。 50組目の数は1組目の0に4を49回たした数なので、 (50組目の数)=0+4×49=196 ここでも,ガウスの方法ですべてたしてみます。
すべて196にきれいにそろいました。196がここでは100個できたので、196を100回たすと 196×100=19600になります。 ところが、これはすべてたしたものの2倍になっているので、19600÷2=9800 ■ 答え:9800
|